내적 외적 증명

(Cauchy-Schwarz 부등식) 3차원 유클리드공간안의 임의의 두 벡터 A,B에 대하여

l A·B l ≤ llAll  llBll  이고, 등호가 성립할 필요충분 조건은 A와 B가 평행이다.

(이때, l  l : 절댓값이고 ,  ll  ll : 벡터의 크기 )

 

이라는 것이 있는데,  이 부등식에 의하면

- (llAll  llBll) ≤  A·B  ≤ llAll  llBll  이므로

llAll  llBll  로 나누면

-1 ≤  A·B/ llAll  llBll ≤ 1 임을 알 수 있습니다.

실제로 0아닌 두 벡터 A,B의 사이각 θ (0 ≤  θ ≤ ㅠ) 에 대하여

A·B/ llAll  llBll = cosθ  가 되고

따라서 A·B = llAll  llBll  cosθ   (A·B=lAllBlcos@ 식이 이렇게 나오는 겁니다.)

 

llA × Bll² = llAll² llBll² -(A·B)² 이므로 ( A=(a,b,c), B=(e,f,g) 로 두고 양변을 비교하면 등식이 성립합을 알수있음)

llA × Bll² = llAll² llBll² -(A·B)²

              = llAll² llBll² -llAll² llBll² cos² θ

              = llAll² llBll²(1- cos² θ)

              = llAll² llBll² sin² θ

한편 0 ≤  θ ≤ ㅠ 에서 0≤sinθ 이므로 llA × Bll = llAll llBll sinθ

(AXB=lAllBlsin@ 식이 이렇게 나오는 겁니다..근데 AXB=lAllBlsin@ 식은 올바르지 않습니다.

좌변은 벡터이구요 우변은 실수이기 때문에 llAXBll=lAllBlsin@ 가 맞아요)